En mi anterior artículo matemático había obtenido una condición que de modo suficiente garantizaba la convergencia al valor medio del cálculo integral para la sucesión de funciones de cambio variable. En el paper que ahora presento doy un paso más, hallando la condición necesaria y suficiente, esto es, equivalente, a dicha convergencia, si elegimos el valor de Xo de cierta manera, que es el punto donde vamos «midiendo las oscilaciones de la onda igualadora» que termina por igualar la altura del nivel en todo el intervalo de la función si se da la convergencia.
La demostración del teorema parejo contiene la prueba de los enunciados en ambos sentidos, tal y como se debe esperar de un teorema de equivalencia entre dos asertos.
Por una parte, se prueba que en caso de que una función cuya integral definida en un intervalo queramos obtener pertenece al espacio de Hilbert de las funciones cuadrado-integrables y da lugar a una sucesión de cambio variable convergente, en ese caso se obtienen dos cosas de manera necesaria, que son, respectivamente, que la sucesión de derivadas de la función de partida tiene la función nula como límite; por otra parte, que se cumple la condición suficiente de convergencia hallada en los dos anteriores artículos de la serie, y que relaciona el máximo de la función en el intervalo con el recorrido máximo de la misma en el intervalo y con el intervalo.
En segundo lugar, se prueba la implicación en el otro sentido y se verifica que si se cumplen esas dos condiciones, entonces se produce la convergencia. Para ello, se tiene en cuenta la sucesión de funciones de cambio variable y se observa que bajo las premisas de la elección del valor de Xo, del hecho de suponer la función nula como límite de las funciones derivadas de la función de partida en la aplicación del método, y del hecho de suponer acotado el módulo de la función de partida por su rango dinámico dividido por la potencia n-ésima de la longitud del intervalo (con n cualquier número natural), en ese caso, necesariamente la sucesión de funciones analíticas que tenemos es una sucesión de Cauchy en el espacio de Hilbert L2, y por lo tanto, por ser éste un espacio vectorial normado y completo, es convergente. Sabemos además que, bajo esta casuística, la convergencia se produce hacia una función constante e igual al valor medio del cálculo integral, precisamente la función a la que converge también la sucesión de cambio equiescalado, tal y como se vio en el primer artículo de esta serie dedicada al método de vasos comunicantes, pues la convergencia de cualquiera de ellas es equivalente a la convergencia de la otra. Además de todo ésto, la sucesión de Cauchy que tenemos en el espacio vectorial L2, como resultado de las hipótesis de esta parte de la demostración, converge a un punto fijo de la sucesión de operadores que estructuran el método, dado que en este caso la sucesión de vectores es Liptschitziana y contractiva, de lo que se deriva precisamente que sea una sucesión de Cauchy. El artículo está convenientemente registrado en el Registro de la Propiedad Intelectual.
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