1.- EL MÉTODO MATEMÁTICO DE LA BOLA VIRTUAL.-
Hace unos veintitantos años, cuando estaba en la universidad, era un gran aficionado al billar americano. Me preguntaba si existiría algún medio de facilitar las cosas a los practicantes de este juego. Entonces me surgieron algunas ideas acerca de cómo atacar el problema, que conformaron el núcleo seminal de lo que después llegó a ser, algunos años más tarde, el «método de la bola virtual». Lo que designo con este nombre es un método matemático que he desarrollado durante el transcurso de algunos años, a ratos perdidos, y que permite la resolución, con suficiente grado de aproximación, de jugadas sin efecto a cualquier número de bandas, así como el cálculo de aquellos dominios dentro de la mesa de billar desde los que se puede o no realizar una jugada determinada denotada por una tupla de números, dominios que designo con los nombres de «dominio vivo» y «dominio muerto», respectivamente, de la jugada. Se establece además un criterio para determinar si una jugada en la que no se usa efecto es posible o no. En último lugar también se define el concepto de «jugada período» y se establecen condiciones para identificarlas, así como propiedades subyacentes de ellas.
Este método, que ha sido registrado en el Registro de la Propiedad Intelectual con mi nombre y apellidos, es la obra de un aficionado, nada más que eso, pero es una obra que podría tener aplicaciones prácticas, puesto que los tres algoritmos que se describen en su cuerpo podrían ser implementados en una PDA, y con la ayuda de un medidor láser de distancias y de la potencia de cálculo de la misma tendríamos un solucionador de jugadas de billar que sí nos sería de utilidad en el aprendizaje y práctica de este juego. Aquí dejo el método de la bola virtual, por si a alguien le interesa.
PARA INICIAR LA DESCARGA CLICAR AQUÍ : metodo_bola_virtual
2.-EL MÉTODO MATEMÁTICO DE ADICIÓN DE SERIES MEDIANTE EXPANSIÓN INTEGRAL.-
En el campo de las matemáticas se suele denominar una serie a una suma de finitos o infinitos términos, los cuales responden a una fórmula de la que se extrae cada valor particular de cada término de la suma. En realidad existen otras conceptualizaciones que responden a la palabra «serie». Por ejemplo, podemos tener una serie de composición de grupos de un grupo dado G, donde cada subgrupo constituyente es un subgrupo normal del inmediatamente siguiente; pero esto es ya algo totalmente diferente a lo que primero enuncié, tiene que ver con la teoría de grupos. Hablando estrictamente de series en el sentido de sumas de números, un problema que aparece de forma natural, y del que es deseable una solución o al menos una aproximación, es el cálculo de la adición de la serie. Sumar números con un computador no es difícil, basta desarrollar un programa de cálculo, que puede ser muy sencillo, dependiendo del lenguaje de programación empleado. Pero las matemáticas son muy rigurosas, es la forma de razonamiento tal vez más exigente, puesto que ha de haber una pulcritud e irrefutabilidad aplastantes en las demostraciones. La intuición que tan bien funciona en un juicio o en la investigación criminal, unida a las pruebas, aquí sólo sirve (y es mucho ésto) para establecer el punto de partida y para ver la forma de solucionar el problema, antes de demostrarlo, lo que realmente vale es la demostración irrefutable. Los matemáticos (los de verdad, yo sólo soy un aficionado de los malos) convierten café en teoremas, como dijo Alfréd Rényi, y sus creaciones pueden llegar a ser de una belleza estremecedora, dependiendo también del ojo que la observa. Al que le pueda interesar, aquí dejo un método que he desarrollado para sumar series, que está convenientemente registrado en el Registro de la Propiedad Intelectual con mi nombre y apellidos. La idea subyacente consiste en identificar una serie con la integral de Lebesgue del histograma de barras de anchura unidad y altura igual a la particularización de la función sumada a los números naturales. Si extendemos esta función al dominio de los reales y calculamos su integral de Lebesgue en el intervalo de sumación, ésta resulta ser igual a la serie buscada más un exceso de área hasta cubrir dicha extensión. Este exceso de área se puede interpretar como otra serie. De este modo,podemos seguir iterando indefinidamente, o al menos hasta una iteración en la que el error esperado es menor que un valor dado.
PARA INICIAR LA DESCARGA CLICAR AQUÍ : metodo_expansion_integral
3.-INTEGRACIÓN INDIRECTA MEDIANTE EL MÉTODO DE VASOS COMUNICANTES.-
Hace ya bastante tiempo, tuve una idea que me pareció realmente bella. Tanto, que me di cuenta en el momento que se podían hacer nuevas matemáticas desarrollándola un poco.
Estaba pensando en cómo si introducimos un líquido en un mecanismo dotado de columnas huecas adyacentes unas a otras y practicamos un agujero lo suficientemente bajo en cada pared que separa columnas contiguas, resultará que el volumen de líquido es invariante, ni aumenta ni disminuye, y cuando se equilibran las fuerzas parejas a la presión hidrostática en cada columna, tendremos el mismo volumen de líquido que al principio, resultando ser por lo tanto la altura alcanzada igual al valor medio del cálculo integral de la función de partida. De esta manera, se me ocurrió que se podría construir una sucesión de funciones que imitara el comportamiento del nivel de líquido en todo el intervalo, con el objeto de obtener indirectamente la integral definida de la función inicial en dicho intervalo. La sucesión de funciones tendría como condición de construcción que la integral del nuevo nivel no variase en cada nueva iteración. Pues bien, tal y como era mi intención, he desarrollado esta bonita idea y el resultado ha sido el paper titulado «integración indirecta mediante el método de vasos comunicantes», que aquí presento en esta entrada.
A las personas que practican el odio o el «bullying» en las redes sociales, les diré que yo prefiero ser constructivo y hacer cosas de provecho, antes que odiar a nadie. Me parece una gran pérdida de tiempo y de energía. A esas personas les proporciono mi trabajo desinteresado, es decir, no les ofrezco odio. Nunca jamás entenderé los beneficios que obtienen los llamados «haters» y «trolls», y condeno su actitud. Hagamos el amor y no la guerra y busquemos el bien para todos.
PARA INICIAR LA DESCARGA CLICAR AQUÍ : metodo_vasos_comunicantes
4.-CONVERGENCIA DE LA SUCESIÓN DE CAMBIO VARIABLE EN EL ESPACIO DE BANACH L2.-
En el anterior artículo matemático había descrito el método de vasos comunicantes, que he creado para obtener indirectamente la integral definida de una función en un intervalo, basándome para ello en el principio físico de los vasos comunicantes.
Ahora doy un paso más siguiendo con esa filosofía de cálculo. En el paper que ahora presento estudio qué se le debe pedir a los parámetros involucrados en el método para que la sucesión de operadores que van suavizando la función sobre la que actúan hasta hacerla constante sea contractiva y Lipstchitziana en el espacio de Banach de las funciones cuadrado integrables L2, que también es un espacio de Hilbert.
De esta manera, si se cumplen estas condiciones se garantizará que en L2 el método de vasos comunicantes converge a una autofunción por el operador que hay en el infinito, es decir, un punto fijo de la sucesión de funciones, sobre la que opera la sucesión de operadores, y que será la función constante e idénticamente igual al valor medio del cálculo integral en todo el intervalo.
Lo que se consigue es una expresión para los parámetros a, b y para los valores que van tomando las funciones de la sucesión en los extremos del intervalo, obtenida a partir del radio espectral de ciertos operadores de los que depende la contractividad de la sucesión de funciones en L2, y que garantizan la convergencia del método de vasos comunicantes.
Este nuevo paper ha sido registrado en el Registro de la Propiedad Intelectual, y goza de las protecciones que dicho registro proporciona.
PARA INICIAR LA DESCARGA CLICAR AQUÍ : convergencia_vasos_comunicantes_en_L2
5.-CONDICIÓN SUFICIENTE DE ARRANQUE PARA LA CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE VASOS COMUNICANTES EN EL ESPACIO DE BANACH L2.-
En mis dos anteriores artículos matemáticos había explicado la heurística y la descripción formal del método de vasos comunicantes, cuyo objeto es obtener mediante una vía indirecta la integral definida de una función regular en un intervalo [a,b].
En el segundo artículo de la serie me había centrado en hallar una condición suficiente que garantizase la convergencia de dicho método, según el esquema de la sucesión de cambio variable. La condición obtenida, que incluyo en la primera imagen de esta entrada, sintetiza en una desigualdad la materialización del concepto de que los operadores que van aplanando la función de partida son liptschitzianos y contractivos. Sin embargo no se trata de una condición fácilmente verificable, dado que su uso implica la comprobación de que se cumple la inecuación para cada valor de k, o al menos para un número finito mayor que 1 de casos.
Ésta es la motivación que me ha llevado a desarrollar un poco más los cálculos, simplificarlos en la medida de lo posible, y encontrar una expresión en función del rango dinámico de f(x) y el máximo valor del módulo de esta función, cuyo cumplimiento implique además el cumplimiento de la inecuación obtenida en el segundo artículo de la serie, pero que se ponga en práctica en un único paso, con comprobaciones sobre la función de partida f(x).
La expresión final que encuentro es la de la anterior imagen, y es la que se erige como condición suficiente de convergencia de la sucesión de cambio variable en el espacio de Hilbert L2.
PARA INICIAR LA DESCARGA CLICAR AQUÍ: condicion_suficiente_de_arranque
6.-TEOREMA SOBRE LA CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA LA CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE VASOS COMUNICANTES EN EL ESPACIO DE HILBERT L2.-
En mi anterior artículo matemático había obtenido una condición que de modo suficiente garantizaba la convergencia al valor medio del cálculo integral para la sucesión de funciones de cambio variable. En el paper que ahora presento doy un paso más, hallando la condición necesaria y suficiente, esto es, equivalente, a dicha convergencia, si elegimos el valor de Xo de cierta manera, que es el punto donde vamos «midiendo las oscilaciones de la onda igualadora» que termina por igualar la altura del nivel en todo el intervalo de la función si se da la convergencia.
La demostración del teorema parejo contiene la prueba de los enunciados en ambos sentidos, tal y como se debe esperar de un teorema de equivalencia entre dos asertos.
Por una parte, se prueba que en caso de que una función cuya integral definida en un intervalo queramos obtener pertenece al espacio de Hilbert de las funciones cuadrado-integrables y da lugar a una sucesión de cambio variable convergente, en ese caso se obtienen dos cosas de manera necesaria, que son, respectivamente, que la sucesión de derivadas de la función de partida tiene la función nula como límite; por otra parte, que se cumple la condición suficiente de convergencia hallada en los dos anteriores artículos de la serie, y que relaciona el máximo de la función en el intervalo con el recorrido máximo de la misma en el intervalo y con el intervalo.
En segundo lugar, se prueba la implicación en el otro sentido y se verifica que si se cumplen esas dos condiciones, entonces se produce la convergencia. Para ello, se tiene en cuenta la sucesión de funciones de cambio variable y se observa que bajo las premisas de la elección del valor de Xo, del hecho de suponer la función nula como límite de las funciones derivadas de la función de partida en la aplicación del método, y del hecho de suponer acotado el módulo de la función de partida por su rango dinámico dividido por la potencia n-ésima de la longitud del intervalo (con n cualquier número natural), en ese caso, necesariamente la sucesión de funciones analíticas que tenemos es una sucesión de Cauchy en el espacio de Hilbert L2, y por lo tanto, por ser éste un espacio vectorial normado y completo, es convergente. Sabemos además que, bajo esta casuística, la convergencia se produce hacia una función constante e igual al valor medio del cálculo integral, precisamente la función a la que converge también la sucesión de cambio equiescalado, tal y como se vio en el primer artículo de esta serie dedicada al método de vasos comunicantes, pues la convergencia de cualquiera de ellas es equivalente a la convergencia de la otra. Además de todo ésto, la sucesión de Cauchy que tenemos en el espacio vectorial L2, como resultado de las hipótesis de esta parte de la demostración, converge a un punto fijo de la sucesión de operadores que estructuran el método, dado que en este caso la sucesión de vectores es Liptschitziana y contractiva, de lo que se deriva precisamente que sea una sucesión de Cauchy. El artículo está convenientemente registrado en el Registro de la Propiedad Intelectual.
PARA INICIAR LA DESCARGA CLICAR AQUI: condicion_equivalente_de_convergencia
TRABAJOS DE MI AUTORÍA BAJO LA SUPERVISIÓN DE OTRAS PERSONAS
1.- SÍNTESIS DE DINÁMICA DE POBLACIONES CON APLICACIÓN A SISTEMAS DE PESCA/CAPTURAS (Master Thesis).-
En el año 2015, presenté mi Tesis Fin de Máster en la especialidad de Análisis Matemático del Máster Universitario de Matemáticas Avanzadas de la UNED.
Mediante este trabajo de fin de Máster se intenta primeramente hacer una síntesis de los tópicos principales dentro del estudio de la dinámica de poblaciones. Se trata de una especialidad de la matemática aplicada que se enmarca en la disciplina de la biología matemática. Dicha disciplina tuvo su nacimiento en los años 20 del siglo pasado, con algunas aportaciones previas, y su estudio ha discurrido en paralelo al desarrollo de otras ramas en el marco del análisis de los sistemas dinámicos, que comparten para algunos casos particulares el patrón de las ecuaciones diferenciales que las articulan. Me refiero aquí a la teoría del caos, y a la teoría de bifurcaciones, campos de investigación muy activos durante todo el siglo XX, y cuyo interés mantiene su vigencia.
Este primer foco de atención se centra en los aspectos fundamentales del estado de desarrollo actual de la dinámica poblacional. Esto es, como punto de partida introductorio, nos fijaremos en los modelos de una especie y los de dos especies, así como en los conceptos matemáticos necesarios para estudiar los sistemas poblacionales. Se pondrá especial atención en los trabajos pioneros llevados a cabo por los matemáticos Alfred J. Lotka y Vito Volterra. Estas tareas se llevan a cabo en los dos primeros capítulos.
En el capítulo tercero se tratan los sistemas de Lotka-Volterra para un número de especies mayor que dos. Es decir, en él se generalizan los aspectos tratados en el segundo capítulo, aplicándolos a ecosistemas con mayor diversidad biológica, y atendiendo a las relaciones de interdependencia que existen entre las especies que los habitan.
Para finalizar, en el cuarto y último capítulo, se realiza el estudio mediante modelos matemáticos de la variabilidad poblacional en ecosistemas en los que se extraen ejemplares de manera “artificial”, esto es, mediante prácticas pesqueras o cinegéticas. Se realiza este análisis con el objeto de conocer cómo varían las poblaciones según distintas estrategias de pesca/capturas, y de averiguar las condiciones que deben evitarse para obtener un máximo rendimiento económico, sin forzar la extinción de las especies de interés. Se presenta además una introducción a las problemáticas existentes en las pesquerías, relacionadas con la búsqueda de un equilibrio óptimo entre el rendimiento económico y la supervivencia de las especies, sin la que la práctica de la pesca no tendría cabida.
PARA INICIAR LA DESCARGA CLICAR AQUÍ: TFM_2015_Analisis_Matematico
